Fano代數簇體積問題II

本計劃延續主持人之前的研究工作，主要目的在找到三維canonical Fano代數簇的反規範體積V(X)最佳上界問題。本計劃為三年期，並提出兩個可行的方向：1. 從古典代數幾何出發，我們考慮帶有一二次曲線叢的Fano三維代數簇上的反規範除子線性系統並使用反投影法。2. 我們提出一個陳氏類的不等式(可視為Bogomolov-Miyaoka-Yau不等式的對應)。對於Fano三維代數簇，此不等式的推論可得到反規範除子體積的最佳上界。主要研究方法為考慮切叢的穩定性與葉裡和近期發展的葉裡極小模型理論。第一年：我們專注在第一個方法，主要研究反規範除子線性系統的基點概型還有(X,|-K_X|)的奇點。當反規範除子線性系統的基點沒有餘維度為一的部分且(X,|-K_X|)的奇點是canonical時，則V(X)有上界72。此結果建立在 Iskovskih-Prokhorov-Karzhemanov早期對Gorenstein Fano三維代數簇的研究，而我們的目標是推廣他們的工作到non-Gorenstein的情形。對一三維canonical代數簇X，從極小理論模型的結果我們可以考慮其上的一個terminal Q-factorial代數簇Y，因此古典的三維terminal奇點的研究與計算可以使用。第一個重要問題為，當V(X)要多大時反規範除子線性系統的基點沒有餘維度為一的部分。這是一個合理可行的問題：我們可證得，若假設一三維Fano代數簇帶有一二次曲線叢，則V(X)>8時反規範映射的像至少是二維。第二年：我們考慮葉裡理論。若切叢為不穩定，則其最大的反穩定子層F會定義一個葉裡。我們將先考慮皮卡爾秩為一的Fano代數流型，此時可得F為一Fano葉裡。若c_1(F)是可分割的，則近代已有許多分類結果。當c_1(F)是不可分割時，則我們僅需要證明陳氏類不等式，這部分可以使用Araujo-Druel-Kovacs研究Fano葉裡的許多結果。另一方面，對於皮卡爾秩為一的帶奇點Fano代數簇X，可以參考J. Wahl's早期的工作做適當的推廣，也許可以得到部分分類結果。第三年：我們假設皮卡爾秩大於二。此時c_1(F)僅為Big。我們將利用近期發展的葉裡極小模型理論來增加c_1(F)的正性。其中最重要的步驟就是檢驗此過程是否可以保持代數簇皆為terminal/canonical。