求解隨機微分方程重建量子軌跡

Abstract

軌跡論與機率論是量子力學的二種不同詮釋。複數力學透過複數軌跡的疊加，證實所得軌跡落點的統計分布與機率論的預測相符，從而統一了軌跡論與機率論二種詮釋。然而這二種詮釋的一致性目前仍存在著二種細微的偏差。第一種偏差是源自求解複數軌跡的數值誤差，第二種偏差是源自複數軌跡樣本數不足所產生的統計誤差，而本論文的目的即在提出解決之道，分別克服這二種誤差。 對於求解複數力學隨機微分方程式所產生的數值誤差，本論文引入歐拉-丸山(Euler-Maruyama)方法，這是一種專門求解隨機微分方程式的數值方法，用以取代傳統的ODE45方法。這一方法的引入除了獲得較好的數值精確度外，在數值計算的效率上也大幅提升。在另一方面，對於複數軌跡樣本數不足所產生的統計誤差，本論文透過Fokker-Planck PDE方程式的求解，直接獲得描述軌跡落點的機率密度函數，而不需以疊加數萬條軌跡的方式去取得統計資料，從而避開了因樣本數不足所產生的統計誤差。本論文針對統計力學與複數力學所對應的Fokker-Planck PDE，利用有限差分法加以求解，所得結果證實複數軌跡的純實部落點統計曲線會與統計力學所對應的Fokker-Planck PDE的解相同，而複數軌跡的實部投影統計曲線則會與複數力學所對應的Fokker-Planck PDE的解一致。

Date of Award	2016 Aug 24
Original language	Chinese
Supervisor	Ciann-Dong Yang (Supervisor)