三維Fano代數簇體積問題

本計劃主題為帶二次曲線叢結構的三維Fano代數簇的體積最佳上界問題。 從極小模型理論中(MMP\Mori Program\森理論)我們知道Fano代數簇是負Kodaira維度代數簇的基本構造元素。由Kollar-Miyaoka-Mori-Tagaki的工作，我們知道三維帶canonical奇點的Fano代數簇是組成一個有限的代數族，因此我們可以找到一個anticanonical體積（以下簡稱體積）的共同上界。Y. Prokhorov研究當此三維Fano代數簇帶有Gorenstein canonical奇點時，最佳體積上界爲72。如果奇點是non-Gorenstein但是代數簇的Picard數為一時，Prokhorov並證得最佳體積上界為125/2。但是若奇點為non-Gorenstein且Picard數大於一時，問題並未解決。我們計劃在這個情況下找到一個最佳的體積上界。 首先由極小模型的一般理論，我們可以考慮弱Q-Fano三維代數簇，其最差帶有terminal奇點。其好處是三維terminal奇點的細緻幾何和解消是有相當多工作的累積。我們的切入點為雙有理幾何的錐定理：一個弱Q-Fano三維代數簇X必帶有一個K負的極端收縮(extremal contraction)。若此收縮結果為一維代數簇，則X的Picard數為二，此時我們可以證明體積最佳上界為72。若此收縮結果為二維代數曲面S而得到一個帶二次曲線叢結構的三維代數簇時，則問題並未完全解決。已知的結果是，當X是Gorenstein時X->S是flat的並且S是光滑的，而Prokhorov在此時考慮S上的判別除子予以分類：若此除子為有理曲線，則X->S是一個P^1纖維叢，而且可以構造一雙有理變換得到一個新的P^1纖維叢X’->S’使得S’=P^2、P^1*P^1、或F2，其中X’也是弱Q-Fano，然後經過陳氏類得計算可以很快得到結論。若判別除子為非有理曲線，則我們可以直接從陳氏類的計算推得體積上界。本計畫目的為推廣Prokhorov的構造，其中我們將引入Mori-Prokhorov近期的結果：S最差帶有A形式的曲面奇點，並且利用陳榮凱教授對三維terminal奇點的可行性Gorenstein解消來處理non-Gorenstein的帶二次曲線叢三維Fano代數簇，並以此估計體積大小。